Tugas Matematika Informatika

Nama : Adventya Christina Manusama

NPM : 50412286

Kelas : 2IA03

STRUKTUR ALJABAR

SOAL :

  1. Suatu sistem aljabar dikatakan suatu grup jika memenuhi syarat dibawah ini , kecuali …

        A. Himp S tertutup
        B. Operasi * bersifat asosiatif
        C. Adanya unsur invers
        D. Himp S tidak tertutup

   2. Dikatakan semigroup jika memenuhi syarat :

       A. Himp S tertutup dan Operasi * bersifat asosiatif
       B. Himp S tidak tertutup dan adanya unsur invers
       C. Himp S tertutup
       D. Himp S tidak tertutup dan Operasi * bersifat asosiatif

   3. Jika diketahui suatu himpunan memenuhi syarat-syarat berikut :

  • Himp S Tertutup
  • Operasi * bersifat asosiatif
  • Pada S terdapat identitas untuk operasi *

Maka, termasuk ke dalam sistem aljabar…

     A. Semigroup
     B. Monoid
     C. Grup
     D. A & B benar

  4. Jika syarat yg terpenuhi adalah :

  • Himp S tertutup, dan
  • Operasi * bersifat asosiatif

Maka, termasuk ke dalam sistem aljabar …

   A. Monoid
   B. Grup
   C. Monoid dan Group
   D. Salah semua               

5. apakah operasi dikatakan group terhadap bilangan kelipatan 4 ?

   a. ya             c. bersifat monoid

  b.tidak          d. salah semua

6.   (W+) jika W adalah himpunan bilangan bulat, maka w dapat dikatakan  …. ?

    a.Semi group            c.Group

    b.Monoid                  d.Ring.

7. Tentukan system Aljabar dari Himpunan berikut :

(A+) = (….,-2,-1,0,1,2,..), A adalah himpunan bilangan bulat, maka A dapat dikatakan …. ?

a.semigroup

b.monoid

c.Group

d.Salah semua

8.  dari pernyataan dibawah ini yang merupakan syarat suatu himpunan dikatakakan monoid jika :

  1. Himpunan S tertutup
  2. Operasi * bersifat asosiatif
  3. Pada S terdapat identitas untuk operasi *
  4. Setiap anggota S mempunya invers untuk operasi *

Pernyataan yang benar diatas adalah …. ?

    A. 1,2,3,4
    B. 1,2
    C. 1,2,3
    D. 1

9. G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +) ?

10. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner:

                          a * b = a + b + ab

Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigroup !

Penyelesaian soal diatas

  1. D. Himp S tidak tertutup
  2.  A. Himp S tertutup dan Operasi * bersifat asosiatif
  3. D. A&B benar
  4. D. Salah semua
  5. A. Ya

Penyelesaian :

{4,8,12,16,20}

a. 4+4 = 8

    4+8 = 12

    12+4 = 16

     16+4 = 20, tertutup terhadap penjumlahan

b. a+(b+c)    = (a+b) + c

    4+(8+12) = (4+8)+12

          4+ 20 = 12 +12

              24 = 24, bersifat asosiatif

c.  a*e = e*a

    4+0 = 0+4 = 4, identitas

d.  a+b = identitas

     4+(-4) = 0, invers

Jadi terbukti bahwa operasi bersifat group terhadap bilangan kelipatan 4.

6. A. Semi Group

Penyelesaian :

{1,2,3,..}

     a. 1+1  = 2

         2+1 = 3

         3+1 = 4 tertutup terhadap penjumlahan

     b. (a + b ) + c = a + (b + c ) ∈ W

          (3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1)

                        6 = 6    asosiatif

jadi terbuki bahwa himpunan bilangan bulat merupakan semigrup

7. C. Group

Penyelseaian :

  1. -2+2 = 0

         -1+0 = -1 , Tertutup terhadap penjumlahan

b. a + (b + c) = ( a + b) + c

    3 + ( 6 + 9 ) = (3 + 6 ) + 9

     18              =     18                asosiatif

c.  a * e = e * a = a

    9 + 0 = 0 + 9 = 9

d. a + b = identitas

    9 + (-9) = 0   => identitas ada

 Jadi, A adalah Group

8. C. 1,2,3

9.  (G, +) bukan suatu group.

Penyelesaian:

Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut

Image

Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di atas, operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1, 1}, maka G = {-1, 1} tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan. Jadi, (G, +) bukan suatu group.

10.  bahwa (N, *) adalah suatu semigroup

 Tertutup

Ambil sebarang a, b € N, karena a, b € N, dan ab € N maka  a *  b = a + b + ab € N.

Jadi, N tertutup terhadap operasi biner * .

Assosiatif

Ambil sebarang a, b, c * N, maka

(a * b) * c = (a + b + ab)  * c

 = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)

 = a + b + ab + c + ac + bc + abc

     a * (b * c) = a *  (b + c + bc)

 = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)

 = a + b + c + bc + ab + ac + abc

Maka untuk setiap a, b, c € N berlaku (a * b) * c = a *  (b * c). Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s